Question

（本題滿分12分）如圖，在四棱錐P―ABCD中，底面ABCD是矩形，側棱PA垂直于底面，E、F分別是AB、PC的中點 

(1)求證  CD⊥PD;

(2)求證  EF∥平面PAD;

(3)當平面PCD與平面ABCD成角時，求證：直線EF⊥平面PCD。

 

Answer 1

證明 ： (1)∵PA⊥底面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD內的射影，

∵CD平面ABCD且CD⊥AD，∴CD⊥PD  (4分)

(2)取CD中點G，連EG、FG，

∵E、F分別是AB、PC的中點，∴EG∥AD，FG∥PD

∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD（8分）

(3）G為CD中點，則EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，

故∠EGF為平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角 

即∠EGF=45°，從而得∠ADP=45°，AD=AP

由Rt△PAE≌ Rt△ CBE,得PE=CE又F是PC的中點，

∴EF⊥ PC，由CD⊥ EG，CD⊥ FG，得CD⊥ 平面EFG，CD⊥ EF

即EF⊥ CD，故EF⊥ 平面PCD  （12分）