Question

如圖，平面PAC⊥平面ABC，點(diǎn)E、F、O分別為線段PA、PB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段CO的中點(diǎn)，AB=BC=AC=4，．
求證：（1）PA⊥平面EBO；
（2）FG∥平面EBO；
（3）求三棱錐E﹣PBC的體積．

Answer 1

（1）證明：由題意可知，△PAC為等腰直角三角形，△ABC為等邊三角形．
因?yàn)镺為邊AC的中點(diǎn)，所以BO⊥AC，
因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BO平面ABC，
所以，BO⊥面PAC．因?yàn)镻A平面PAC，故 BO⊥PA．
在等腰三角形PAC內(nèi)，O，E為所在邊的中點(diǎn)，
故 OE∥PC，∴OE∥PA，
又BO∩OE=O，所以，PA⊥平面EBO．
（2）證明：連AF交BE于Q，連QO．
因?yàn)镋、F、O分別為邊PA、PB、PC的中點(diǎn)，所以=2．
又 Q是△PAB的重心．
于是，=2=，
所以，F(xiàn)G∥QO．
因?yàn)镕G平面EBO，QO平面EBO，
所以，F(xiàn)G∥平面EBO．
（3）解：由（1）可知PA⊥平面EBO，
所以PE⊥BO，
因?yàn)镺是線段AC的中點(diǎn)，AB=BC=AC=4，
所以BO⊥AC，
所以BO⊥平面PEC，BO是棱錐的高，BO=．
S_△PEO=S_△PAC=?4?=2．
所以三棱錐E﹣PBC的體積V==．