Question

以下四個命題：
①PA、PB是平面α的兩條長度相等的斜線段，則它們在平面α內的射影的長度必相等；
②平面α內的兩直線l₁、l₂，若l₁、l₂均與平面β平行，則α∥β；
③若平面α內有無數個點到平面β的距離相等，則α∥β；
④α、β為兩相交平面，且α不垂直于β，α內有一定直線l，則在平面β內有無數條直線與l垂直．
其中正確的命題的個數是（　�。�

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：根據空間平行與垂直的有關定理，對各個選項逐個加以判斷：利用線面垂直的定義，通過計算可得①正確；根據面面平行的判定定理，可得②錯；根據平行于平面的直線到平面距離相等，可以舉出反例說明③錯；根據異面直線所成角的含義，可以結合已知條件作出輔助線，從而證出④正確．

解答：解：對于①，設點P到平面α的距離等于d，可得
斜線段PA在平面α內的射影長為：

PA2-d2

，
同理可得PB在平面α內的射影長：

PB2-d2

，
若PA=PB，則PA、PB平面α內的射影的長度必相等，故①正確；
對于②，若平面α內的相交直線l₁、l₂，且l₁、l₂均與平面β平行，則α∥β
但沒有相交這個條件，換成l₁∥l₂結論就不一定成立，故②錯；
對于③，若平面α與平面β垂直相交，在平面α內作出交線的平行線m，
則直線m上有無數個點到平面β的距離相等，說明平面α內有無數個點到平面β的距離相等，
但結論“α∥β”不成立，故③錯；
對于④，α、β為兩相交平面，設它們的交線是m，在平面β內可作出m的垂線n，
并且這樣的垂線有無數條，那只要直線l在α內與m保持平行，則必有l⊥n，
即便是α不垂直于β，在α內有也存在直線l，與平面β內無數條直線垂直，故④正確．
綜上，得正確的選項是①④
故選B

點評：本題以命題真假的判斷為載體，考查了立體幾何中空間的平行與垂直位置關系的判斷，屬于基礎題．考查了推理證明的能力和空間想象能力．