Question

（2006•海淀區二模）如圖，雙曲線C的中心在原點，虛軸兩端點分別為B₁、B₂，左頂點和左焦點分別為A、F，若

AB2

⊥

FB1

，則雙曲線C的離心率為

5 +1

2

．

Answer 1

分析：設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，可得A、F、B₁和B₂各點的坐標，由

AB2

⊥

FB1

得

AB2

•

FB1

=0，利用向量數量積的坐標公式得到ac-b²=0，結合b²=c²-a²和離心率公式，化簡得離心率e的方程，即可解出該雙曲線的離心率．

解答：解：由題意，設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
可得A（-a，0），F（-c，0），B₁（0，b），B₂（0，-b）
∵

AB2

=(a，-b)，

FB1

=(c，b)
∴由

AB2

⊥

FB1

得

AB2

•

FB1

=0，即ac-b²=0
可得b²=ac，即c²-ac-a²=0，兩邊都除以a²可得e²-e-1=0
解之得e=

5 +1

2

（舍負）
故答案為：

5 +1

2

點評：本題給出雙曲線方程，在已知向量垂直的情況下求離心率．著重考查了平面向量數量積公式和雙曲線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．