Question

【題目】如圖,在四棱錐中,底面是邊長為2的正方形,側面是等腰直角三角形,且,側面⊥底面.

(1)若分別為棱的中點,求證:∥平面；

(2)棱上是否存在一點,使二面角成角，若存在,求出的長；若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析( 2)

【解析】

分析：（1）取中點,連結,由三角形中位線定理可得,可證明四邊形為平行四邊形,可得,由線面平行的判定定理可得結論；（2）取中點,連結、,先證明、、兩兩垂直. 以為原點,分別以、、正方向為軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標系，設，利用向量垂直數量積為零列方程組，求出平面的法向量，平面的法向量為，由空間向量夾角余弦公式列方程可得結果.

詳解：(1)取中點,連結,∵分別為、中點，∴//,, 又點為中點,∴且,∴四邊形為平行四邊形,∴∥,

又 平面, 平面,∴∥平面.

(2)取中點,連結、,∵ 是以 為直角的等腰直角三角形,又為的中點,∴ ,又平面⊥平面,由面面垂直的性質定理得⊥平面,又 平面,∴⊥,由已知易得:、、兩兩垂直. 以為原點,分別以、、正方向為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系如圖示,

則,設 ,

則:,.

設平面ABF的法向量為,則,

∴,令,則

,∴.

又平面的法向量為,由二面角成角得:,

∴,解得:,或不合題意,舍去

.∴,當棱上的點滿足時, 二面角成角.