Question

【題目】已知圓的圓心在直線上．

（Ⅰ）若圓C與y軸相切，求圓C的方程；

（Ⅱ）當a=0時，問在y軸上是否存在兩點A，B，使得對于圓C上的任意一點P，都有，若有，試求出點A，B的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），或;（Ⅱ）存在兩點A（0，﹣2）、B（0，0），或A（0，4）、B（0，2）.

【解析】

（Ⅰ）由圓與y軸相切，求出|a|＝ ；（Ⅱ）假設存在滿足題意的A、B、P，設出這三個點的坐標，然后由兩點間的距離公式將幾何條件|PA|＝|PB坐標化，整理后對y恒成立兩邊對應項系數相等，列方程組解出y1，y2，即可求出．

（I）∵圓的圓心在直線上，

∴，∵圓C與y軸相切，∴，

∴，，

故所求圓C的方程，或，

（II）∵a=0，，

∴圓的方程為，∴，

假設在y軸上存在兩點，使得對于圓C上的任意一點P，都有，設，則由得 ，

∴，

，

依題意此方程對y恒成立，故，

解得或，

故在y軸上存在兩點A（0，﹣2）、B（0，0），或A（0，4）、B（0，2），使得對于圓C上的任意一點P，都有．