Question

選修41：幾何證明選講
如圖，⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，AB是⊙O₂的直徑，過A點作⊙O₁的切線交⊙O₂于點E，并與BO₁的延長線交于點P，PB分別與⊙O₁、⊙O₂交于C，D兩點．
求證：
（1）PA•PD=PE•PC；
（2）AD=AE．

Answer 1

分析：（1）根據切割線定理，建立兩個等式，即可證得結論；
（2）連接AC、ED，設DE與AB相交于點F，證明AC是⊙O₂的切線，可得∠CAD=∠AED，由（1）知

PA

PE

=

PC

PD

，可得∠CAD=∠ADE，從而可得∠AED=∠ADE，即可證得結論．

解答：證明：（1）∵PE、PB分別是⊙O₂的割線
∴PA•PE=PD•PB             （2分）
又∵PA、PB分別是⊙O₁的切線和割線
∴PA²=PC•PB        （4分）
由以上條件得PA•PD=PE•PC（5分）
（2）連接AC、ED，設DE與AB相交于點F
∵BC是⊙O₁的直徑，∴∠CAB=90°
∴AC是⊙O₂的切線．（6分）
由（1）知

PA

PE

=

PC

PD

，∴AC∥ED，∴AB⊥DE，∠CAD=∠ADE（8分）
又∵AC是⊙O₂的切線，∴∠CAD=∠AED
又∠CAD=∠ADE，∴∠AED=∠ADE
∴AD=AE（10分）

點評：本題考查圓的切線，考查切割線定理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．