Question

（考生注意：從下列三題中任選一題，多選的只按照第一題計分）
①對任意x∈R，|2-x|+|3+x|≥a²-4a恒成立，則a滿足

[-1，5]

．
②在極坐標系中，點P（2，-

π

6

）到直線l：ρsin（θ-

π

6

）=1的距離是

3

+1

；
③如圖，點P在圓O直徑AB的延長線上，且PB=OB=2，PC切圓O于點C，CD⊥AB于點D，則CD=

3

．

Answer 1

分析：①|2-x|+|3+x|表示數軸上的x對應點到-3、2對應點的距離之和，它的最小值等于5，故有5≥a²-4a，解此不等式，求得a的取值范圍．
②點的極坐標和直角坐標的互化，極坐標方程化為直角坐標方程，然后用點到直線的距離來解．
③在圓中線段利用由切線定理求得∠PCO=90°，進而利用直角三角形PCO中的線段，結合解三角形求得CD即可．

解答：解：①對任意x∈R，|2-x|+|3+x|表示數軸上的x對應點到-3、2對應點的距離之和，
它的最小值等于5，
要使|2-x|+|3+x|≥a²-4a恒成立，5≥a²-4a，
解得-1≤a≤5，故a的取值范圍是[-1，5]，
故答案為[-1，5]．
②：在極坐標系中，點P（2，-

π

6

）化為直角坐標為（

3

，-1），
直線ρsin（θ-

π

6

）=1化為x-

3

y+2=0，
P（

3

，-1）到x-

3

y+2=0的距離，
即為P到直線ρsin（θ-

π

6

）=1的距離，所以距離為

| 3 + 3 +2|

1+3

=

3

+1．
故答案為：

3

+1．
③：∵PC是圓O的切線，
∴∠PCO=90°，
在直角三角形PCO中，PB=BO，
∴PO=2OC，
從而∠POC=60°，
在直角三角形OCD中，CO=2，
∴CD=

3

．
故答案為：

3

．

點評：①本題主要考查指數不等式對數不等式的解法，函數的恒成立問題，屬于中檔題．②本題關鍵是直角坐標和極坐標的互化，體現等價轉化數學思想．③此題考查的是直角三角形的性質、勾股定理的應用、與圓有關的比例線段，屬于基礎題．