Question

已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x²+4x．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）已知a為實數，且f（a²-a）＜f（4a-4），求函數g（x）=

x

（x-a）在區間[0，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數的定義即可求得當x＜0時的解析式．
（2）據函數f（x）的解析式，先證明函數f（x）在R上的單調性，即可求出a的取值范圍．再對函數g（x）求導并求出極值，進而可求得最小值．

解答：解1）設x＜0，則-x＞0，由已知可得：f（-x）=（-x）²-4x．
∵函數f（x）是定義在R上的奇函數，∴f（x）=-f（-x）=-（x²-4x）=-x²+4x．
所以函數的解析式為：f(x)=

x2+4x，當x≥0時 -x2+4x，當x＜0時

．
（2）當x≥0時，f（x）=（x+2）²-4，∴函數f（x）在區間[0，+∞）上單調遞增；
同理可得：當x＜0時，函數f（x）在區間（-∞，0）上單調遞增．由函數f（x）在x=0時連續，
∴函數f（x）在R上單調遞增．
∵實數a滿足f（a²-a）＜f（4a-4），
∴a²-a＜4a-4，解得1＜a＜4．
令

x

=t，∵x∈[0，2]，∴t∈[0，

2

]．
∴y=t（t²-a），∴y′=3t²-a．
令y′=0，則t=

a 3

，
又∵1＜a＜4，∴

1 3

＜

a 3

＜

4 3

，∴t=

a 3

∈[0，

2

]．
當t∈[0，

a 3

)時，y′＜0；當t∈(

a 3

，

2

]時，y′＞0．
∴函數y=t³-at在區間[0，

a 3

]上單調遞減；在區間[

a 3

，

2

]上單調遞增．
∴函數y=t³-at在t=

a 3

，即x=

a

3

時取得最小值為-

2a 3a

9

．

點評：本題綜合考查了函數的奇偶性、單調性及最值，充分理解以上性質和掌握利用導數求最值的方法是解決問題的關鍵．