Question

已知函數f（x）=3x²+a，g（x）=2ax+1，a∈R．
（1）證明函數H（x）=f（x）-g（x）恒有兩個不同的零點；
（2）若函數f（x）在（0，2）上無零點，請討論函數y=|g（x）|在（0，2）上的單調性．

Answer 1

分析：（1）根據函數H（x）=f（x）-g（x）=3x² -2ax+a-1 的判別式△＞0，可得二次函數H（x）=f（x）-g（x）恒有兩個不同的零點．
（2）由題意可得f（0）=a≥0，或 f（2）=12+a≤0，解得a≥0，或 a≤-12．根據函數y=|g（x）|=|2ax+1|，分①當a=0時、②當a＞0時、③當a≤-12三種
情況，分別研究函數的單調性．

解答：解：（1）證明：∵函數H（x）=f（x）-g（x）=3x² -2ax+a-1 的判別式△=4a²-12a+12=4[(x-

3

2

)2+

3

4

]＞0，
∴函數H（x）=f（x）-g（x）恒有兩個不同的零點．
（2）若函數f（x）在（0，2）上無零點，結合f（x）在（0，2）上單調遞增，
可得f（0）=a≥0，或 f（2）=12+a≤0，解得a≥0，或 a≤-12．
∵函數y=|g（x）|=|2ax+1|，
①故當a=0時，|g（x）|=1 在（0，2）上沒有單調性．
②當a＞0時，函數y=|g（x）|=|2ax+1|的零點為x=-

1

2a

＜0，函數y=|g（x）|在（0，2）上單調遞增．
③當a≤-12時，函數y=|g（x）|=|2ax+1|的零點為x=-

1

2a

∈（0，

1

24

]，函數y=|g（x）|在（0，-

1

2a

）上單調遞減，在（-

1

2a

，2）上是增函數．

點評：本題主要考查函數的零點與方程的根的關系，函數的單調性的判斷和證明，帶由絕對值的函數，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．