Question

已知aÎR，函數f(x)=x³−3x²+3ax−3a+3

（Ⅰ）求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；

（Ⅱ）當xÎ[0，2]時，求|f(x)|的最大值．

Answer 1

【命題意圖】本題考查導數的幾何意義，導數應用等基礎知識，同時考查推理論證能力，分類討論等分析問題和解決問題的能力

  【答案解析】

（Ⅰ）由題意f ¢(x)=3x²−6x+3a，故f ¢(1)=3a−3．又f(1)=1，所以所求的切線方程為

y=(3a−3)x−3a+4

（Ⅱ）由于f ¢(x)=3(x−1)²+3(a−1)，0x£2．故

（ⅰ）當a£0時，有f ¢(x) £0，此時f(x)在[0，2]上單調遞減，故

|f(x)|_max=max{|f(0)|，|f(2)|}=3−3a

（ⅱ）當a³1時，有f ¢(x) ³0，此時f(x)在[0，2]上單調遞增，故

|f(x)|_max=max{|f(0)|，|f(2)|}= 3a−1

（ⅲ）當0<a<1時，設x₁=1−，x₂=1+，則

0< x₁< x₂<2，f ¢(x)=3(x− x₁)(x− x₂)

列表如下：

x	0	(0，x1)	x1	(x1，x2)	x2	(x2，2)	2
f ¢(x)		+	0	−	0	+
f (x)	3−3a	單調遞增	極大值f (x1)	單調遞減	極小值f (x2)	單調遞增	3a−1

由于

f(x₁)=1+2(1−a)，f(x₂)=1−2(1−a)，

故

f(x₁)+f(x₂)=2>0，f(x₁)×f(x₂)=4(1−a)>0

從而

f(x₁)>| f(x₂)|．

所以

|f(x)|_max=max{f(0)，|f(2)|，f(x₁)}

（1）當0<a<時，f(0)>|f(2)|．高考資源網

又

f(x₁)− f(0)=2(1−a)−(2−3a)=>0

故

|f(x)|_max= f(x₁)=1+2(1−a)．

（2）當£a<1時，|f(2)|=f(2)，且f(2)³f(0)．

又

f(x₁)− |f(2)|=2(1−a)−( 3a −2)=

所以

①當£a<時，f(x₁)> |f(2)|．故

|f(x)|_max= f(x₁)=1+2(1−a)．

②當£a<1時，f(x₁) £ |f(2)|．故

|f(x)|_max=| f(2)|= 3a−1．

   綜上所述，

|f(x)|_max=