Question

【題目】將長為、寬為的矩形劃分為個(gè)小正方形.一粒子不重復(fù)不遺漏連續(xù)地通過每個(gè)小正方形的一條對(duì)角線.這件事能否辦到？若辦不到，請(qǐng)說明理由；若能辦到，請(qǐng)給出一種行走路線.

Answer 1

【答案】能

【解析】

能辦到.

分兩種情況說明：

（1）

若、中至少有一個(gè)是奇數(shù)，不妨設(shè)為奇數(shù).如圖，粒子從開始行走，至；；；；；.即給出時(shí)粒子的一種行走路線.若，則粒子可繼續(xù)從出發(fā)，行至；；；；.又給出時(shí)粒子的一種行走路線.假設(shè)時(shí)粒子已有，時(shí)的一種行走路線，那么，當(dāng)時(shí)，若為奇數(shù)，粒子在長為，寬為的矩形上的個(gè)小正方形的一種行走路線終止于處，再沿下述行走路線即可：；；；；；若為偶數(shù)，粒子在長為，寬為的矩形上的個(gè)小正方形的一種行走路線終止于，再沿下述行走路線即可：；；；；.至此，已給出時(shí)粒子的一種行走路線.

由數(shù)學(xué)歸納法原理，當(dāng)時(shí)，均可設(shè)計(jì)出粒子的一種行走路線.

（2）

若、都是偶數(shù)，如圖，粒子從開始行走至，然后在線段上方長為、寬為的矩形的個(gè)小正方形中行走.由（1）可知粒子有一種行走路線，終止于.此粒子再沿以下路線行走即可：；；；；；；.