Question

在平面直角坐標系xOy 中，設A （1，2 ），B （ 4，5 ），

OP

=m

OA

+

AB

（m∈R）．
（1）求m的值，使得點P在函數y=x²+x-3的圖象上；
（2）以O，A，B，P為頂點的四邊形能否成為平行四邊形？若能，求出相應的m的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據向量的加減法則與坐標運算法則，結合題中數據算出P點坐標為（m+3，2m+3）．將點P坐標代入函數y=x²+x-3，得到關于m的二次方程，解之即可得到m的值；
（2）根據平行四邊形的判定與向量加法的平行四邊形法則，分

OP

=

AB

、

OP

=

BA

與

OP

=

OA

+

OB

三種情況加以討論，分別建立關于m的等式并解出m的值，可得答案．

解答：解：∵A （1，2 ），B （ 4，5 ），
∴

AB

=（3，3），
由此可得

OP

=m

OA

+

AB

=m（1，2 ）+（3，3）=（m+3，2m+3），
設P（x，y），可得

x=m+3 y=2m+3

，
即P（m+3，2m+3）．
（1）若點P在函數y=x²+x-3的圖象上，
則2m+3=（m+3）²+（m+3）-3，
化簡得m²+5m+6=0，
解得m=-2、m=-3．
因此存在m=-2或-3，使得點P在函數y=x²+x-3的圖象上；
（2）若以O、A、B、P為頂點的四邊形構成平行四邊形，
①四邊形OABP為平行四邊形，則

OP

=

AB

，
即（m+3，2m+3）=（3，3），
解得m=0；
②四邊形OBAP為平行四邊形，則

OP

=

BA

，
即（m+3，2m+3）=（-3，-3），找不出符合題意的m值；
③四邊形OAPB為平行四邊形，則

OP

=

OA

+

OB

，
即（m+3，2m+3）=（1，2 ）+（ 4，5 ）=（5，7），
解得m=2．
綜上所述，可得存在m=0或2，使得以O、A、B、P為頂點的四邊形構成平行四邊形．

點評：本題給出A、B兩點坐標與向量式

OP

=m

OA

+

AB

，討論以O、P、A、B為頂點的四邊形能否為平行四邊形．著重考查了平面向量的加減法則、向量的坐標運算法則與平行四邊形的判定與性質等知識，屬于中檔題．