Question

已知點P是拋物線y²=4x上的動點，點P在y軸上的射影是M，點A的坐標是（4，a），則當|a|＞4時，|PA|+|PM|的最小值是

 

．

Answer 1

分析：先看當x=4時根據拋物線方程求得縱坐標的絕對值，而|a|＞4，明A（4，a）是在拋物線之外拋物線焦點和準線可求得，延長PM交L：x=-1于點N，必有：|PM|=|PN|-|MN|=|PN|-1根據拋物線的定義，可知：拋物線上的點P到準線x=-1的距離等于其到焦點F（1，0）的距離進而判斷出|PA|+|PM|=|PF|+|PA|-1，只需求出|PF|+|PA|的最小值即可．由于A在拋物線之外，可由圖象的幾何位置判斷出：AF必與拋物線交于一點，設此點為P'，看p和P'的重合與不重合兩種情況分別求得最小值，最后綜合可得答案．

解答：解：首先，當x=4時，代入拋物線方程，求得|y|=4
而|a|＞4，說明A（4，a）是在拋物線之外（也就是在拋物線位于第一象限的上半支的上方或是下半支的下方）
拋物線焦點可求得是F（1，0），準線L：x=-1
P在y軸上的射影是M，說明PM⊥y軸，延長PM交L：x=-1于點N，必有：
|PM|=|PN|-|MN|=|PN|-1
|PN|就是P到準線L：x=-1的距離！
連接PF
根據拋物線的定義，
可知：拋物線上的點P到準線x=-1的距離等于其到焦點F（1，0）的距離！即：|PF|=|PN|
∴|PM|=|PF|-1
|PA|+|PM|=|PF|+|PA|-1
只需求出|PF|+|PA|的最小值即可：
連接|AF|
由于A在拋物線之外，可由圖象的幾何位置判斷出：AF必與拋物線交于一點，設此點為P'
1°當P與P'不重合時：A，P，F三點必不共線，三點構成一個三角形APF，根據三角形“兩邊之和大于第三邊”的性質，可得：
|PF|+|PA|＞|AF|=

(4-1)2+(a-0)2

^=

a2+9

2°當P與P'重合時，A，P（P'），F三點共線，根據幾何關系有：
|PF|+|PA|=|AF|=

a2+9

綜合1°，2°兩種情況可得：
|PF|+|PA|≥

a2+9

∴（|PF|+|PA|）min=

a2+9

∴（|PA|+|PM|）min=

a2+9

-1

點評：本題主要考查了拋物線的應用，以及拋物線定義的應用．考查了學生對拋物線定義的理解和應用．