Question

（04年全國卷Ⅱ理）(14分)

已知函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－x，g(x)＝xlnx．

(1)求函數(shù)f(x)的最大值；

(2)設(shè)0＜a＜b，證明：0＜g(a)＋g(b)－2g()＜(b－a)ln2．

Answer 1

解析：(I)解：函數(shù)f(x)的定義域是(-1,∞),(x)=.令(x)=0，解得x=0，當(dāng)-1<x<0時, (x)>0,當(dāng)x>0時,(x)<0，又f(0)=0，故當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，f(x)取得最大值，最大值是0

(II)證法一：g(a)+g(b)-2g()=alna+blnb-(a+b)ln=a.

由(I)的結(jié)論知ln(1+x)-x<0(x>-1,且x≠0)，由題設(shè)0<a<b,得,因此,.

所以a>-.

又 a<a

綜上0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.

(II)證法二：g(x)=xlnx,,設(shè)F(x)= g(a)+g(x)-2g(),

則當(dāng)0<x<a時因此F(x)在(0,a)內(nèi)為減函數(shù)當(dāng)x>a時因此F(x)在(a,+∞)上為增函數(shù)從而，當(dāng)x=a時，F(xiàn)(x)有極小值F(a)因為F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即0<g(a)+g(b)-2g().

設(shè)G(x)=F(x)-(x-a)ln2,則當(dāng)x>0時,,因此G(x)在(0,+∞)上為減函數(shù)，因為G(a)=0,b>a,所以G(b)<0.即g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.