Question

已知函數f（x）對任意x∈R，都有f（x）=f（2-x），且當x≤1時，f（x）=|1-a^x|（a＞1），又數列{a_n}中，a1=

1

3

，a2=

3

2

，a3=

2

3

，且a_n+3=a_n，n∈N^*，則有（　　）

A．f（a₂₀₁₀）＜f（a₂₀₀₉）＜f（a₂₀₁₁）

B．f（a₂₀₁₁）＜f（a₂₀₀₉）＜f（a₂₀₁₀）

C．f（a₂₀₁₀）＜f（a₂₀₁₁）＜f（a₂₀₀₉）

D．f（a₂₀₀₉）＜f（a₂₀₁₀）＜f（a₂₀₁₁）

Answer 1

分析：先根據數列的周期性，分別計算a₂₀₁₀，a₂₀₀₉，a₂₀₁₁的值，并利用函數的對稱性將三個值化到同一區間（0，1）上，再利用函數圖象得函數f（x）在（0，1）上的單調性，利用單調性比較大小即可

解答：解：∵a_n+3=a_n，∴數列{a_n}為周期為3的周期數列，∴a₂₀₁₀=a_3×670=a3=

2

3

，a₂₀₀₉=a2=

3

2

，a₂₀₁₁=a1=

1

3

∴f（a₂₀₁₁）=f（

1

3

），f（a₂₀₀₉）=f（

3

2

）=f（2-

1

2

）=f（

1

2

），f（a₂₀₁₀）=f（

2

3

）
∵f（x）=f（2-x），∴函數f（x）的圖象關于x=1對稱，又∵當x≤1時，f（x）=|1-a^x|（a＞1），故函數f（x）的圖象如圖：
函數f（x）在（0，1）上為增函數，
∵

1

3

＜

1

2

＜

2

3

，∴f（

1

3

）＜f（

1

2

）＜f（

2

3

）
即f（a₂₀₁₁）＜f（a₂₀₀₉）＜f（a₂₀₁₀）
故選 B

點評：本題考查了函數的對稱性，函數的單調性，指數函數的圖象和性質，數列的周期性，及里用單調性比較大小的方法