Question

.(本小題滿分12分)已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，一個頂點為，且其右焦點到直線的距離為3．
(1)求橢圓的方程；
(2)是否存在斜率為 ，且過定點的直線，使與橢圓交于兩個不同的點、，且？若存在，求出直線的方程;若不存在,請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）. （Ⅱ）或。

本試題主要是考查了橢圓方程的求解和直線與橢圓的位置關系的運用。
（1）設橢圓的方程為,由已知得.    
設右焦點為，由題意得 得到結論。
（2）直線的方程   ， 代入橢圓方程,得
    
由  得結合韋達定理和點在線段的中垂線上，得到k的值。
解：（Ⅰ）設橢圓的方程為,由已知得.    
設右焦點為，由題意得     ……………………………2分
.  
橢圓的方程為.    ……………………4分
（Ⅱ）直線的方程   ， 代入橢圓方程,得
    
由  得…………………6分
設點則   
設、的中點為，則點的坐標為.  ………………8分 
點在線段的中垂線上.                      
     化簡,得 .  ……………………………10分 
 
所以,存在直線滿足題意，直線的方程為
或 ……………………………12分