Question

【題目】設x＞0，求證：1＋x＋x2＋…＋xn≥(2n＋1)xn

Answer 1

【答案】證明：一：當x≥1時1≤x≤x2≤…≤xn ，
由排序原理：順序和≥反序和，得
1·1＋x·x＋x2·x2＋…＋xn·xn
≥1·xn＋x·xn-1＋…＋xn－1·x＋xn·1，
即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn.①
又因為x ， x2 ， …，xn ， 1為序列1，x ， x2 ， …，xn的一個排列，于是再次由排序原理：亂序和≥反序和，得
1·x＋x·x2＋…＋xn-1·xn＋xn·1≥1·xn＋x·xn-1＋…＋xn-1·x＋xn·1，
得x＋x3＋…＋x2n-1＋xn≥(n＋1)xn.②
將①和②相加得
1＋x＋x2＋…＋xn≥(2n＋1)xn.
二：當0＜x＜1時，1＞x＞x2＞…＞xn ，
但①②仍然成立，于是③也成立.
綜合一、二，證畢.
【解析】考查排序不等式的應用.解答本題需要注意：題目中只給出了x＞0，但對于x≥1，x＜1沒有明確，因此需要進行分類討論.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解排序不等式的相關知識，掌握排序不等式（排序原理）：設為兩組實數.是的任一排列，則（反序和亂序和順序和）當且僅當或時，反序和等于順序和．