Question

（2012•濰坊二模）如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，側面BB₁C₁C⊥底面ABC，△BC₁C是等邊三角形，AC⊥BC，AC=BC=4．
（1）求證：AC⊥B

C

1

；
（2）設D為BB₁的中點，求二面角D-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用面面垂直的性質，可得線面垂直，從而可得線線垂直；
（2）過D作BC的垂線，垂足為E，證明∠DAB是二面角D-AC-B的平面角，即可求得結論．

解答：（1）證明：∵側面BB₁C₁C⊥底面ABC，側面BB₁C₁C∩底面ABC=BC，AC⊥BC，
∴AC⊥側面BB₁C₁C
∵BC₁?側面BB₁C₁C
∴AC⊥B

C

1

；
（2）解：過D作BC的垂線，垂足為E，則
∵側面BB₁C₁C⊥底面ABC，側面BB₁C₁C∩底面ABC=BC，
∴DE⊥底面ABC，
∵AC⊥BC
∴DC⊥AC
∴∠DAB是二面角D-AC-B的平面角
∵△BC₁C是等邊三角形，AC=BC=4
∴DE=

3

，BE=1
∴CE=5，CD=2

7

∴cos∠DAB=

CE

CD

=

5

2 7

=

5 7

14

點評：本題考查線面垂直，考查面面角，解題的關鍵是利用面面垂直的性質，正確作出面面角．