Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在極坐標(biāo)系中，已知曲線(xiàn)，將曲線(xiàn)上的點(diǎn)向左平移一個(gè)單位，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)軸伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得到曲線(xiàn)，又已知直線(xiàn)（是參數(shù)），且直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn).

（I）求曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程，并說(shuō)明它是什么曲線(xiàn)；

（II）設(shè)定點(diǎn)，求.

Answer 1

【答案】（I），是橢圓；（II）.

【解析】

試題分析：（I）對(duì)曲線(xiàn)兩邊乘以化為直角坐標(biāo)為，經(jīng)過(guò)平移和伸縮變換后得到曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為，這是焦點(diǎn)在軸上的橢圓；（II）將直線(xiàn)的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)的方程中，化簡(jiǎn)得，寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，，，結(jié)合點(diǎn)的幾何意義可求得.

試題解析：

（I）曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為：，即，

∴曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為，

∴曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓.

（II）直線(xiàn)（是參數(shù)）

將直線(xiàn)的方程代入曲線(xiàn)的方程中，

得.

設(shè)對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程為，

則，，

結(jié)合的幾何意義可知，