Question

【題目】已知向量，，且函數.若函數的圖象上兩個相鄰的對稱軸距離為.

（Ⅰ)求函數的解析式；

（Ⅱ)若方程在時，有兩個不同實數根，，求實數的取值范圍，并求出的值；

（Ⅲ)若函數在的最大值為2，求實數的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ)；（Ⅱ)，；（Ⅲ）或

【解析】

（Ⅰ)根據三角恒等變換公式化簡，根據周期計算，從而得出的解析式；（Ⅱ)求出在，上的單調性，計算最值和區間端點函數值，從而得出的范圍，根據對稱性得出的值；（Ⅲ）令，求出的范圍和關于的二次函數，討論二次函數單調性，根據最大值列方程求出的值．

（Ⅰ）∵，，

∴

若函數的圖象上兩個相鄰的對稱軸距離為，

則函數的周期，

∴，即，

∴

（Ⅱ)由（Ⅰ)知，，

當時，

∴若方程在有兩個不同實數根，則.

∴令，，則，，

∴函數在內的對稱軸為，

∵，是方程，的兩個不同根，

∴

（Ⅲ）因為，所以，

令，則.∴

又∵，由得，

∴.

（1）當，即時，可知在上為減函數，

則當時，

由，解得：，不合題意，舍去.

（2）當，即時，結合圖象可知，當時，，

由，解得，滿足題意.

（3）當，即時，知在上為增函數，

則時，，由得，舍去

綜上，或為所求.