Question

已知橢圓C：

x2

b2

+

y2

a2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，橢圓C的短軸的一個端點P到焦點的距離為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線l：y=kx+

3

與橢圓C交于A，B兩點，是否存在實數k使得以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點O？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的離心率為

3

2

，橢圓C的短軸的一個端點P到焦點的距離為2，建立方程組，求出幾何量，即可得到橢圓的方程；
（2）直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理，及x₁x₂+y₁y₂=0，即可求得結論．

解答：解：（1）∵橢圓的離心率為

3

2

，橢圓C的短軸的一個端點P到焦點的距離為2，
∴

c a = 3 2 b2+c2=a2=4

∴a=2，b=1
∴橢圓C的方程為x2+

y2

4

=1；
（2）將y=kx+

3

代入橢圓方程，可得
（4+k²）x²+2

3

kx-1=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是上述方程的兩個根，
∴x₁+x₂=-

2 3 k

4+k2

，x₁x₂=-

1

4+k2

由題意知：OA⊥OB，則x₁x₂+y₁y₂=0
又y₁=kx₁+

3

，y₂=kx₂+

3

，
則x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+

3

k（x₁+x₂）+3=0，
∴（1+k²）•（-

1

4+k2

）+

3

k（-

2 3 k

4+k2

）+3=0
∴k=±

11

2

滿足條件．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是將問題進行等價轉化．