Question

（Ⅰ）求函數f（x）=-

2px

（p＞0）在點P(2，-2

p

)處的切方程；
（Ⅱ）過點F（1，0）的直線l交拋物線y²=4x于A、B兩點，直線l₁、l₂分別切該拋物線于A、B，l₁∩l₂=M，求點M的橫坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導數，可得切線的斜率，從而可得切線方程；
（Ⅱ）設出直線方程與拋物線方程聯立，再分別求出切線方程，聯立即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=-

2px

(p＞0)，∴f′(x)=-

2p

2 x

，
所以切線的斜率為f′(2)=-

p

2

．
∴所求切線方程為y+2

p

=-

p

2

(x-2)，即y=-

p

2

x+3

p

．…5分
（Ⅱ）設直線l的方程為x=ky+1，設A(

y 2 1

4

，y1)，B(

y 2 2

4

，y2)，
由方程組

x=ky+1 y2=4x

得，y²-4ky-4=0，∴y₁y₂=-4．…7分
因y₁與y₂異號，不妨假定y₁＞0，y₂＜0，
由y=2

x

得y′=

1

x

，所以過點A的拋物線的切線l₁斜率為

1

y 2 1 4

=

2

y1

，
所以切線l₁的方程是y-y1=

2

y1

(x-

y 2 1

4

)，即y=

2

y1

x+

y1

2

同理可求得以B為切點的l₂線方程是y=

2

y2

x+

y2

2

，
由兩切線方程得

2

y1

x+

y1

2

=

2

y2

x+

y2

2

，解得x=

y1y2

4

=-1
所以點M的橫坐標是-1．…12分．

點評：本題考查導數知識的運用，考查直線與拋物線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．