Question

（本小題滿分12分）
已知圓的方程為，為坐標原點.
（Ⅰ）求過點的圓的切線方程；
（Ⅱ）若圓上有兩點關于直線對稱，并且滿足，求
的值和直線的方程；
（Ⅲ）過點作直線與圓交于兩點，求的最大面積以及此時直線的斜率.

Answer 1

(1)
(2)
(3)的最大面積為8，此時直線的斜率為.

解：（Ⅰ）圓的標準方程為，圓心為，半徑
設過點的切方程為，即，
則，解得
切線方程為                                       ----------------3分
當斜率不存在時，也符合題意.
故求過點的圓的切線方程為：或.    ----------------4分
（Ⅱ）因為點在圓上且關于直線對稱，
∴圓心在直線上，代入得.------------------------------5分
因為直線與直線垂直，
所以可以設，方程為.
將直線代入圓C的方程，得.------------------------------------------6分
,得.
由根與系數的關系得
   

因為
所以
即,解得,
故所求的直線方程為.--------------------------------8分
（Ⅲ）當直線的斜率不存在時,,              ----------------------------9分
當直線的斜率存在時,設直線的方程為，即，
圓心到直線的距離，線段的長度，
所以，，
當且僅當時取等號，此時，解得
所以，的最大面積為8，此時直線的斜率為.      --------12分