Question

已知函數f（x）=sin（x+

π

6

）+sin（x-

π

6

）+cosx-a，x∈[0，

π

2

]．
（1）若函數f（x）的最大值為1，求實數a的值；
（2）若方程f（x）=1有兩解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用兩角和差的正弦公式可得：函數f（x）=2sin(x+

π

6

)-a．由于x∈[0，

π

2

]，可得(x+

π

6

)∈[

π

6

，

2π

3

]，sin(x+

π

6

)∈[

1

2

，1]．可得f（x）_max=2-a=1，解出即可．
（2）方程f（x）=1，化為2sin(x+

π

6

)=a+1，由于x∈[0，

π

2

]，可得(x+

π

6

)∈[

π

6

，

2π

3

]．要使方程f（x）=1有兩解，可得2×

3

2

≤a+1＜2，解出即可．

解答： 解：（1）函數f（x）=sin（x+

π

6

）+sin（x-

π

6

）+cosx-a=

3

sinx+cosx-a=2sin(x+

π

6

)-a．
∵x∈[0，

π

2

]，
∴(x+

π

6

)∈[

π

6

，

2π

3

]．
∴sin(x+

π

6

)∈[

1

2

，1]．
∴f（x）_max=2-a=1，
∴a=1．
（2）方程f（x）=1，化為2sin(x+

π

6

)=a+1，
∵x∈[0，

π

2

]，∴(x+

π

6

)∈[

π

6

，

2π

3

]．
要使方程f（x）=1有兩解，
則2×

3

2

≤a+1＜2，
解得a∈[

3

-1，1)．

點評：本題考查了三角函數的圖象與性質、兩角和差的正弦公式，考查了數形結合的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．