Question

某市的老城區改造建筑用地平面示意圖如圖所示．經規劃調研確定，老城區改造規劃建筑用地區域可近似為半徑是R的圓面．該圓的內接四邊形ABCD是原老城區建筑用地，測量可知邊界AB＝AD＝4萬米，BC＝6萬米，CD＝2萬米．

（I）請計算原老城區建筑用地ABCD的面積及圓面的半徑R的值；

（II）因地理條件的限制，邊界AD、CD不能變更，而邊界AB、BC可以調整．為了提高老城區改造建筑用地的利用率，請在上設計一點P，使得老城區改造的新建筑用地APCD的面積最大，并求出其最大值．

Answer 1

解：　(1)因為四邊形ABCD內接于圓，所以∠ABC＋∠ADC＝180°，連接AC，由余弦定理：

AC²＝4²＋6²－2×4×6cos∠ABC

＝4²＋2²－2×2×4cos∠ADC.

∴cos∠ABC＝.∵∠ABC∈(0，π)，∴∠ABC＝60°.

則S_{四邊形ABCD}＝×4×6×sin60°＋×2×4×sin120°＝8(萬平方米)．

在△ABC中，由余弦定理：

AC²＝AB²＋BC²－2AB·BC·cos∠ABC

＝16＋36－2×4×6×＝28，故AC＝2.

由正弦定理得，2R＝＝＝，∴R＝(萬米)．......6分

(2)S_{四邊形APCD}＝S_△ADC＋S_△APC，    S_△ADC＝AD·CD·sin120°＝2.

設AP＝x，CP＝y，則S_△APC＝xy·sin60°＝xy.

又由余弦定理：AC²＝x²＋y²－2xycos60°＝x²＋y²－xy＝28.

∴x²＋y²－xy≥2xy－xy＝xy.     ∴xy≤28，當且僅當x＝y時取等號．

∴S_{四邊形APCD}＝2＋xy≤2＋×28＝9，

   即當x＝y時面積最大，其最大面積為9萬平方米．......12分