【題目】已知橢圓
的離心率為
，以橢圓的短軸為直徑的圓與直線
相切.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓過右焦點(diǎn)
的弦為
、過原點(diǎn)的弦為
，若
，求證：
為定值.
【答案】(Ⅰ) 
；(Ⅱ)證明見解析.
【解析】
試題分析：
(Ⅰ)由題意結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可得
.結(jié)合離心率計(jì)算公式有
.則橢圓
的方程為.
(Ⅱ)對(duì)直線的斜率分類討論：當(dāng)直線
的斜率不存在時(shí)，
.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)
，
，
，
，聯(lián)立直線方程與橢圓方程有
，由弦長公式可得
.聯(lián)立直線
與橢圓方程，結(jié)合弦長公式有
.計(jì)算可得.據(jù)此可得：為定值.
試題解析：
（Ⅰ）依題意，原點(diǎn)到直線
的距離為
，
則有.
由
，得
.
∴橢圓的方程為.
（Ⅱ）證明：（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易求
，
，
則.
（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，
設(shè)直線的斜率為
，依題意
，
則直線的方程為
，直線
的方程為.
設(shè)，，，，
由
得，
則
，
，
.
由
整理得
，則
.
.
∴
.
綜合（1）（2），為定值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】一個(gè)袋中裝有形狀大小完全相同的球9個(gè)，其中紅球3個(gè)，白球6個(gè)，每次隨機(jī)取1個(gè)，直到取出3次紅球即停止．
(1)從袋中不放回地取球，求恰好取4次停止的概率P1；
(2)從袋中有放回地取球．
①求恰好取5次停止的概率P2；
②記5次之內(nèi)(含5次)取到紅球的個(gè)數(shù)為
，求隨機(jī)變量
的分布列及數(shù)學(xué)期望．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)函數(shù)f（x）在定義域[﹣5，5]上滿足f（x）﹣f（﹣x）＝0，且f（3）＝0，當(dāng)x∈[0，5]時(shí)，f（x）的圖象如圖所示，則不等式xf（x）＜0的解集是_____．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
，且曲線
與
在
處有相同的切線.
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)
的值；
（Ⅱ）求證：
在
上恒成立；
（Ⅲ）當(dāng)
時(shí)，求方程
在區(qū)間
內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù).
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
，且曲線
與
在
處有相同的切線.
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)
的值；
（Ⅱ）求證：
在
上恒成立；
（Ⅲ）當(dāng)
時(shí)，求方程
在區(qū)間
內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù).
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知圓
的方程為
．
（1）求過點(diǎn)
且與圓相切的直線
的方程；
（2）直線過點(diǎn)，且與圓交于
、
兩點(diǎn)，若
，求直線的方程；
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】袋中有紅、黃、白色球各1個(gè)，每次任取1個(gè)，有放回地抽三次，求基本事件的個(gè)數(shù)，寫出所有基本事件的全集，并計(jì)算下列事件的概率：
（1）三次顏色各不相同；
（2）三次顏色不全相同；
（3）三次取出的球無紅色或黃色．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn)，
軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線
的極坐標(biāo)方程為
，直線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)）．
（1）分別求出曲線和直線的直角坐標(biāo)方程；
（2）若點(diǎn)
在曲線上，且到直線的距離為1，求滿足這樣條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知
為實(shí)常數(shù)，函數(shù)
.
（1）討論函數(shù)
的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
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