Question

【題目】已知橢圓： 的左、右焦點分別為，過任作一條與兩條坐標軸都不垂直的直線，與橢圓交于兩點，且的周長為8，當直線的斜率為時， 與軸垂直.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）在軸上是否存在定點，總能使平分？說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】試題分析：

(1)利用題意求得， .所以橢圓的方程為.

(2)設出直線方程，聯立直線與橢圓的方程討論可得為所求.

試題解析：

（Ⅰ）因為，即，

有，所以，即，

當直線的斜率為時， 與軸垂直，

所以，

由，且，

解得，即，

又，故，

所以，由，得.

所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得， ，設直線的方程為， 兩點的坐標分別為，

聯立，消去，整理得，

所以，

設，由已知平分，得，

所以，即，

即，

所以，

即，所以，即，

所以為所求.