Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a^x+b^x-c^x，其中a，b，c是△ABC的三條邊，且c＞a，c＞b，則“△ABC為鈍角三角形”是“?x∈（1，2），使f（x）=0”（　　）

A．充要條件

B．充分不必要條件

C．必要不充分條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理、余弦定理和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行正反推理，對(duì)充分性與必要性分別加以討論，可得在題設(shè)條件下，“△ABC為鈍角三角形”是“?x∈（1，2），使f（x）=0”的充要條件，從而得到答案．

解答：解：先看充分性，
當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，由于c＞a且c＞b，可得c為鈍角所對(duì)的邊，
由余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

＜0，可得c²＞a²+b²，
∴f（2）=a²+b²-c²＜0
又∵三角形兩邊之和大于第三邊，得f（1）=a+b-c＞0，
∴f（1）•f（2）＜0，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上有零點(diǎn)，故充分性成立；
再看必要性，
∵函數(shù)f（x）=a^x+b^x-c^x=c^x[(

a

c

)x+(

b

c

)x-1），0＜

a

c

＜1，0＜

b

c

＜1，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∵f（1）=a+b-c＞0，且存在x∈（1，2），使f（x）=0成立，
∴f（2）=a²+b²-c²＜0，可得a²+b²＜c²，
由余弦定理，得cosC=

a2+b2-c2

2ab

＜0，所以C為鈍角，得△ABC為鈍角三角形，故必要性成立．
綜上所述，“△ABC為鈍角三角形”是“?x∈（1，2），使f（x）=0”的充要條件．
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題給出指數(shù)型函數(shù)和△ABC，討論兩個(gè)條件之間的充分必要性，著重考查了函數(shù)零點(diǎn)存在性定理、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和用余弦定理解三角形等知識(shí)，屬于中檔題．