Question

【題目】函數f（x）的定義域為D，若滿足①f（x）在D內是單調函數，②存在[a，b]D，使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]，那么y=f（x）叫做閉函數，現有f（x）= +k是閉函數，那么k的取值范圍是

Answer 1

【答案】（﹣ ,a]
【解析】解：函數f（x）= +k 的定義域為[﹣2，+∞），且在定義域內是增函數，故滿足①，

又f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]，∴f（a）=a，f（b）=b，

∴ +k=a，且 +k=b，∴a+2=（a﹣k）2，且 b+2=（b﹣k）2，且k≤a，k≤b．

即 ，故 a和 b 是方程 x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0在[﹣2，+∞）上的兩個根．

令 g（x）=x2﹣（2k+1）x+k2﹣2，

則有 ，解得 a≥k＞﹣ ，那么k的取值范圍是（﹣ ，a]，

所以答案是：（﹣ ，a]．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的值域的相關知識，掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，以及對函數單調性的判斷方法的理解，了解單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．