Question

【題目】已知向量 =（sin（A﹣B）， ， =（1，2sinB），且 =﹣sin2C，其中A、B、C分別為△ABC的三邊a、b、c所對(duì)的角． （Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若 ，且S△ABC= ，求邊c的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵向量 =（sin（A﹣B）， ）， =（1，2sinB）， ∴ =sin（A﹣B）+2 sinB=sin（A﹣B）+2cosAsinB=sin（A+B）
∵ =﹣sin2C，∴sin（A+B）=﹣sin2C，
∵sin（A+B）=sn（π﹣C）=sinC，
∴sinC=﹣2sinCcosC，
結(jié)合sinC＞0，得﹣2cosC=1，cosC=﹣
∵C∈（0，π），∴C= ；
（Ⅱ）∵ ，
∴由正弦定理得 ．
又∵S△ABC= absinC= ab= ，∴ab=4，
由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣ab
∴c2= c2﹣ab，可得 =ab=4，解之得
【解析】（I）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，結(jié)合題意得 =sin（A+B）=﹣sin2C，利用二倍角的三角函數(shù)公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得cosC=﹣ ，由此即可算出角C的大小；（II）根據(jù)題意，由正弦定理得到 ．由三角形面積公式算出ab=4，再由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC的式子聯(lián)解，即可算出 ．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解余弦定理的定義的相關(guān)知識(shí)，掌握余弦定理:;;．