Question

(本小題滿分12分)

已知點是橢圓E：（a > b > 0）上一點，F₁、F₂分別是橢圓E的左、右焦點，O是坐標原點，PF₁⊥x軸．

求橢圓E的方程；

設A、B是橢圓E上兩個動點，是否存在λ，滿足（0<λ<4，且λ≠2），且M（2，1）到AB的距離為？若存在，求λ值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：(1) ∵PF₁⊥x軸，

∴F₁( – 1，0)，c = 1，F₂(1，0)，

|PF₂|=，2a = |PF₁| + |PF₂| = 4，a = 2，b² = 3，

橢圓E的方程為：；      4分

(2) 設A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，由 得

  （x₁+1，y₁-）+（x₂+1，y₂-）=(1，- )，

   所以x₁+x₂=-2，y₁+y₂=(2-)………①       5分

又，，

兩式相減得3(x₁+x₂)(x₁-x₂)+ 4(y₁+y₂)(y₁-y₂)=0   ②

以①式代入可得AB的斜率k=    8分

設直線AB的方程為y=x+t，

  與聯立消去y并整理得 x²+tx+t²-3=0，

  △=3(4-t²)>0，， x₁+x₂=-t=-2

  點M到直線AB的距離為d=，

         10分

或不合題意．故這樣的不存在   12分