Question

【題目】定義：對于一個(gè)項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列，若存在且，使得數(shù)列的前k項(xiàng)和與剩下項(xiàng)的和相等（若僅為1項(xiàng)，則和為該項(xiàng)本身），我們稱該數(shù)列是“等和數(shù)列”.例如：因?yàn)?/span>，所以數(shù)列3，2，1是“等和數(shù)列”.請解答以下問題：

（1）數(shù)列1，2，p，4是“等和數(shù)列”，求實(shí)數(shù)p的值；

（2）項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，求證：是“等和數(shù)列”.

（3）是公比為q項(xiàng)數(shù)為的等比數(shù)列，其中且恒成立.判斷是不是“等和數(shù)列”，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）或或 （2）證明見解析 （3）不是“等和數(shù)列”，證明見解析

【解析】

（1）對令分別計(jì)算，得到答案.
（2）由，得，若是“等和數(shù)列，存在k使得，即.分和進(jìn)行討論即可.
（3）假設(shè)是“等和數(shù)列”, 則存在且，使得成立, 即,
由會得到矛盾，從而判斷處結(jié)論.

（1）若，即，則.

若，即，則.

若，即，則.

所以或或

（2）證明方法一：，所以.

假設(shè)存在k使得數(shù)列的前k項(xiàng)和與剩下項(xiàng)的和相等，即，所以.

，，

即.

當(dāng)時(shí)，，對任意都有，，即，

所以此時(shí)是“等和數(shù)列”；

當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)或（舍去）.
即存在且，使得成立，所以此時(shí)是“等和數(shù)列”.

由上得：是“等和數(shù)列”

證明方法二：設(shè)公差為d，

，，

同理：，，

于是，同理，

，即，，，成等差數(shù)列，

所以，因?yàn)?/span>，
所以，即存在，使得，所以是“等和數(shù)列”

（3）不是“等和數(shù)列”

證明方法一：設(shè)為的前n項(xiàng)和

反證法：假設(shè)結(jié)論不成立，即是“等和數(shù)列”，

則存在且，使得成立，即，

于是成立，即

時(shí)，，，即，所以，
所以，與產(chǎn)生矛盾.所以假設(shè)不成立，即不是“等和數(shù)列”.

證明方法二：反證法：假設(shè)結(jié)論不成立，即是“等和數(shù)列”，

則存在且，使得成立，即.

于是成立，即得到，
這里，得產(chǎn)生矛盾.所以假設(shè)不成立，即不是“等和數(shù)列”.

證明方法三：先證該數(shù)列滿足：設(shè)為前n項(xiàng)和，則對任意都有成立.

證明：，

因?yàn)?/span>，所以，，，

所以，所以恒成立.

由此得：對任意且，，即，

所以不存在且，使得成立，

即不是“等和數(shù)列”.