Question

若橢圓C：的離心率e為，且橢圓C的一個焦點與拋物線y²=-12x的焦點重合．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設點M（2，0），點Q是橢圓上一點，當|MQ|最小時，試求點Q的坐標；
（3）設P（m，0）為橢圓C長軸（含端點）上的一個動點，過P點斜率為k的直線l交橢圓與A，B兩點，若|PA|²+|PB|²的值僅依賴于k而與m無關，求k的值．

Answer 1

解：（1）由題意可得：拋物線y²=-12x的焦點（-3，0），
∵=，∴a=5，∴=4
∴橢圓C的方程為；
（2）設Q（x，y），-5≤x≤5
∴|MQ|²=（x-2）²+y²=
∵對稱軸為x=＞5，∴x=5時，|MQ|²取得最小值
∴當|MQ|最小時，點Q的坐標為（5，0）；
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l：y=k（x-m）
直線代入橢圓方程，消去y可得（25k²+16）x²-50mk²x+25m²k²-400=0
∴x₁+x₂=，x₁x₂=
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2km=-，y₁y₂=
∴|PA|²+|PB|²=+=（k²+1）•
∵|PA|²+|PB|²的值僅依賴于k而與m無關，
∴512-800k²=0，解得k=．
分析：（1）先求出焦點的坐標，再由離心率求得半長軸的長，從而得到短半軸長，即可寫出橢圓的標準方程；
（2）用坐標表示出|MQ|²，利用配方法可得結論；
（3）設出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，表示出|PA|²+|PB|²，根據|PA|²+|PB|²的值僅依賴于k而與m無關，可得等式，從而可求k的值．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查配方法的運用，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，正確運用韋達定理是關鍵．