Question

（13分）點P為圓上一個動點，M為點P在y軸上的投影，動點Q滿足．
（1）求動點Q的軌跡C的方程；
（2）一條直線l過點，交曲線C于A、B兩點，且A、B同在以點D（0，1）為圓心的圓上，求直線l的方程。

Answer 1

（1）.（2）.

試題分析：（1）變形得，即P點為M和Q的中點，設(shè)動點Q的坐標為（x,y），利用“代入法”即得所求軌跡方程.
（2）首先考慮直線l的斜率不存在的情況，不符合題意；
設(shè)直線l的斜率為k,則直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，應用韋達定理得：

從而得到弦AB的中點 N點坐標為，
由，可得的方程，求，求得直線l的方程.
試題解析：（1）變形得，即P點為M和Q的中點，設(shè)動點Q的坐標為（x,y），則P點坐標為，將其代入到圓的方程中，得，即為所求軌跡方程。
（2）當直線l的斜率不存在時，顯然不符合條件；
設(shè)直線l的斜率為k,則直線方程為，將其代入到橢圓方程中并整理得

設(shè)，則由韋達定理得：

設(shè)弦AB中點為N，則N點坐標為，
由題意得，即
所以，解得，所以所求直線l的方程為.