Question

等比數列{a_n}中，a₁，a₂，a₃分別是下表第一、二、三行中的某一個數，且其中的任何兩個數不在下表的同一列．

	第一列	第二列	第三列
第一行	3	2	10
第二行	6	4	14
第三行	9	8	18

（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足：b_n=a_n+（-1）ⁿlna_n，求數列{b_n}的前2n項和S_2n．

Answer 1

分析：本題考查的是數列求和問題．在解答時：
（Ⅰ）此問首先要結合所給列表充分討論符合要求的所有情況，根據符合的情況進一步分析公比進而求得數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）首先要利用第（Ⅰ）問的結果對數列數列{b_n}的通項進行化簡，然后結合通項的特點，利用分組法進行數列{b_n}的前2n項和的求解．

解答：解：（Ⅰ）當a₁=3時，不符合題意；
當a₁=2時，當且僅當a₂=6，a₃=18時符合題意；
當a₁=10時，不符合題意；
所以a₁=2，a₂=6，a₃=18，
∴公比為q=3，
故：a_n=2•3^n-1，n∈N*．
（Ⅱ）∵b_n=a_n+（-1）ⁿlna_n
=2•3^n-1+（-1）ⁿln（2•3^n-1）
=2•3^n-1+（-1）ⁿ[ln2+（n-1）ln3]
=2•3^n-1+（-1）ⁿ（ln2-ln3）+（-1）ⁿnln3
∴S_2n=b₁+b₂+…+b_2n
=2（1+3+…+3^2n-1）+[-1+1-1+…+（-1）²ⁿ]•（ln2-ln3）+[-1+2-3+…+（-1）²ⁿ2n]ln3
=2×

1-32n

1-3

+nln3
=3²ⁿ+nln3-1
∴數列{b_n}的前2n項和S_2n=3²ⁿ+nln3-1．

點評：本題考查的是數列求和問題．在解答的過程當中充分體現了分類討論的思想、分組求和的方法、等比數列通項的求法以及運算能力．值得同學們體會和反思．