Question

【題目】

已知函數，且。

（I）試用含的代數式表示；

（Ⅱ）求的單調區間；

（Ⅲ）令，設函數在處取得極值，記點，證明：線段與曲線存在異于、的公共點。

Answer 1

【答案】（I）

（Ⅱ）當時，函數的單調增區間為和，單調減區間為；

當時，函數的單調增區間為R；

當時，函數的單調增區間為和，單調減區間為。

（Ⅲ）證明見解析。

【解析】

試題（Ⅰ）從導數出發，利用即得與的關系式：（Ⅱ）求函數單調區間，關鍵研究導函數零點分布情況：因為導函數有兩個零點：，，因此需分三種情況進行討論，此時最容易遺漏相等的情況（Ⅲ）先根據極值求出、的坐標，再聯立方程確定線段MN與曲線的交點，由易得，因此線段與曲線存在異于、的公共點

試題解析：解：（Ⅰ）依題意得，由得…2分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

故，令，則或

①當時，，當變化時，的變化情況如下表

可得函數的單調增區間為和，單調減區間為。

②當時，，此時恒成立，且僅在處，故函數的單調增區間為；

③當時，，函數的單調增區間為和，單調減區間為

（Ⅲ）當時，，，。

由（Ⅱ）得的單調增區間為和，單調減區間為，

函數在處取得極值，故

直線的方程為

由得

令，易得

的圖像在內是一條連續不斷的曲線，

故在內存在零點，這表明線段與曲線有異于的公共點