Question

（2006•朝陽區一模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），中心在坐標原點O，一條準線的方程是x=1，過橢圓的左焦點F，且方向向量為

a

=（1，1）的直線l交橢圓于A、B兩點，AB的中點為M．
（Ⅰ）求直線OM的斜率（用a、b表示）；
（Ⅱ）直線AB與OM的夾角為α，當tanα=2時，求橢圓的方程；
（Ⅲ）當A、B兩點分別位于第一、三象限時，求橢圓短軸長的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用“點差法”和中點坐標公式、斜率計算公式即可得出；
（II）利用兩條直線的夾角公式、準線方程和a²=b²+c²即可得出；
（III）設AB直線的方程為y=x+c與橢圓方程聯立，可得根與系數的關系．由于A、B兩點分別位于第一、三象限，可得x₁x₂＜0．得到b，c的關系．再利用準線方程和a，b，c的關系即可用b表示c，進而得到取值范圍．

解答：解：（I）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

a2

+

y 2 2

b2

=1．
兩式相減，得：

y1-y2

x1-x2

•

y1+y2

x1+x2

=-

b2

a2

．
∵kAB=

y1-y2

x1-x2

=1，kOM=

y1+y2

x1+x2

．
∴kOM=-

b2

a2

．
（II）因為直線AB與OM的夾角為α，tanα=2
由（I）知k_AB=1，kOM=-

b2

a2

．
∴tanα=

1+ b2 a2

1- b2 a2

=2①
又橢圓中心在坐標原點O，一條準線的方程是x=1，
∴

a2

c

=1②
在橢圓中，a²=b²+c²③
聯立①②③，解得：

a2= 2 3 b2= 2 9

所以，橢圓的方程為  

x2

2 3

+

y2

2 9

=1．
（III）設AB直線的方程為y=x+c
由

y=x+c x2 a2 + y2 b2 =1

消元得（a²+b²）x²+2a²cx+a²c²-a²b²=0
∵A、B兩點分別位于第一、三象限，
∴x1x2＜0，即

c2-b2

a2+b2

＜0，∴0＜c＜b，
又

a2 c =1 a2-b2=c2

，即c2-c+b2=0．
當△=1-4b2≥0即0＜b≤

1

2

時，c=

1- 1-4b2

2

＜b
解得：0＜b＜

1

2

，0＜2b＜1．
∴橢圓短軸長的取值范圍為（0，1）．

點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、中點坐標公式、斜率計算公式、兩條直線的夾角公式等是解題的關鍵．