Question

已知二次函數y=f（x）的圖象如圖所示．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數f（x）在區間[t，t+2]上的最大值h（t）；
（Ⅲ）若g（x）=6lnx+m，問是否存在實數m，使得y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且只有兩個不同的交點？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：設二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
（I）由圖象知函數的圖象過（0，），（8，0），最大值為16，代入可求a，b，c，從而可求函數f（x）的解析式
（Ⅱ）由f（x）=-（x-4）²+16，要求函數f（x）在區間[t，t+2]上的最大值h（t），需要考查對稱軸x=4與區間[t，t+4]的位置關系：分t＞4，t≤4≤t+2，t+2＜4分別求解函數的最大值
（Ⅲ）構造函數φ（x）=g（x）-f（x）=x²-8x+6lnx+m．要使函數f（x）與函數g（x）有且僅有2個不同的交點，則函數φ（x）=x²-8x+6lnx+m的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個不同的交點，結合導數的知識可得必須且只須

φ(1)=0 φ(3)＜0

或

φ(3)=0 φ(1)＞0

，從而可求m的范圍

解答：解：設二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
（I）由圖象知：

c=0 a•82+b•8+c=0 4ac-b2 4a =16

解之得：

a=-1 b=8 c=0

，
∴函數f（x）的解析式為f（x）=-x²+8x…（4分）
（Ⅱ）∵f（x）=-（x-4）²+16，
∴當t＞4時，f（x）的最大值是f（t）=-（t-4）²+16；
當t≤4≤t+2，即2≤t≤4時，f（t）的最大值是f（4）=16；
當t+2＜4，即t＜2時，f（x）的最大值是f（t+2）=-（t-2）²+16．∴h(t)=

-(t-2)2+16；t＜2 16，2≤t≤4 -(t-4)2+16，t＞4

…（8分）
（Ⅲ）令φ（x）=g（x）-f（x），則g（x）-f（x）=x²-8x+6lnx+m．
因為x＞0，要使函數f（x）與函數g（x）有且僅有2個不同的交點，則函數φ（x）=x²-8x+6lnx+m的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個不同的交點
∴?′(x)=2x-8+

6

x

=

2x2-8x+6

x

=

2(x-1)(x-3)

x

(x＞0)
當x∈（0，1）時，φ′（x）＞0，φ（x）是增函數；
當x∈（1，3）時，φ′（x）＜0，φ（x）是減函數
當x∈（3，+∞）時，φ′（x）＞0，φ（x）是增函數
當x=1或x=3時，φ′（x）=0
∴φ（x）極大值為φ（1）=m-7；φ（x）極小值為φ（3）=m+6ln3-15…（12分）
又因為當x→0時，φ（x）→-∞
當x→+∞時，φ（x）→+∞
所以要使φ（x）=0有且僅有兩個不同的正根，只須

φ(1)=0 φ(3)＜0

或

φ(3)=0 φ(1)＞0

即

m-7=0 m+6ln3-15＜0

或

m+6ln3-15=0 m-7＞0

∴m=7或m=15-6ln3．
∴當m=7或m=15-6ln3．時，函數f（x）與g（x）的圖象有且只有兩個不同交點．…（14分）

點評：本題目考查了由二次函數的圖象求解函數的解析式，考查了識別圖象的能力及二次函數性質的應用，函數與方程的相互轉化的思想在解題中的應用．