Question

已知橢圓的焦點是F₁（0，-1）和F₂（0，1），離心率e=

1

2

，
（I）求此橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設點P在此橢圓上，且有|PF₁|-|PF₂|=1，求∠F₁PF₂的余弦值．

Answer 1

分析：（I）根據題意可得：c=1，e=

c

a

=

1

2

，解得a=2，b=

3

，進而寫出橢圓的方程．
（Ⅱ）由橢圓的定義得：|PF₁|+|PF₂|=2a=4，結合題意可得：|PF₁|=

5

2

，|PF₂|=

3

2

，再根據余弦定理求出答案即可．

解答：解：（I）由已知可設橢圓的方程為：

x2

b 2

+

y2

a 2

=1（a＞b＞0），…（2分）
由條件知c=1，e=

c

a

=

1

2

，
解得a=2，…（4分）
所以b²=a²-c²=3．…（5分）
所以橢圓的標準方程方程為

y2

4

+

x2

3

=1…（6分）
（Ⅱ）因為點P在橢圓

y2

4

+

x2

3

=1上，
 所以|PF₁|+|PF₂|=2a=4；…（8分）
又因為|PF₁|-|PF₂|=1，解得|PF₁|=

5

2

，|PF₂|=

3

2

，…（10分）
在△ABC中，cos∠F1PF2=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1||PF2|

=

( 5 2 )2+( 3 2 )2-22

2× 5 2 × 3 2

=

3

5

，

所以∠F₁PF₂的余弦值為

3

5

．    …（12分）

點評：本題主要考查橢圓的定義與橢圓的性質，以及余弦定理．