Question

試分別用綜合法、分析法、反證法等三種方法，證明下列結論：已知0＜a＜1，則

1

a

+

4

1-a

≥9．

Answer 1

分析：分析法是從結論出發找出要證結論的充分條件；反證法是假設結論不成立，從假設出發：同分；兩邊同時乘以a（1-a）；得到不成立的結論，從而得證；綜合法即將分析法的每一步倒過來．

解答：解：分析法：

1

a

+

4

1-a

≥9?

1+3a

a(1-a)

≥9

0＜a＜1 1+3a≥9a(1-a)?(3a-1)2≥0

反證法：假設

1

a

+

4

1-a

＜9，通分得

1+3a

a(1-a)

＜9．
∵0＜a＜1，∴1+3a＜9a（1-a），整理得（3a-1）²＜0，這與平方數不小于0矛盾．
∴假設不成立，則

1

a

+

4

1-a

≥9．
綜合法：由（3a-1）²≥0，變形得1+3a≥9a（1-a）．
∵0＜a＜1，∴

1+3a

a(1-a)

≥9，即

1

a

+

4

1-a

≥9．

點評：本題考查三種證明方法的具體步驟、區別、聯系．注意分析法的書寫格式；反證法的步驟．