Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上．

（）求橢圓的標準方程．

（）是否存在斜率為的直線，使得當直線與橢圓有兩個不同交點，時，能在直線上找到一點，在橢圓上找到一點，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2) 不存在

【解析】分析：（1）由橢圓的焦點坐標與點在橢圓上可求得橢圓的的標準方程。(2) 設，，，，的中點為，設直線MN的方程為，與橢圓組方程組結合韋達定理，由，知四邊形為平行四邊形，，得，由，可得，所以不存在Q點在橢圓上。

詳解：（）設橢圓的焦距為，則，

∵在橢圓上，

∴，

∴，，

故橢圓的方程為．

（）假設這樣的直線存在，設直線的方程為，

設，，，，的中點為，

由，消去，得，

∴，且，

故且，

由，知四邊形為平行四邊形，

而為線段的中點，因此為線段的中點，

∴，得，

又，可得，

∴點不在橢圓上，

故不存在滿足題意的直線．