Question

判定下列命題的真、假：

(1)垂直于同一條直線的兩直線平行；

(2)垂直于同一個平面的兩直線平行；

(3)一條直線與一個平面內的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個平面垂直；

(4)一條直線和一個平面都垂直于同一條直線，則這條直線和平面平行；

(5)a、b、c為三條直線，若a⊥b，b⊥c，則a⊥c；

(6)過已知點作已知平面的垂線，和過已知點作已知直線的垂線，都是有且只有一條；

(7)如果一條直線垂直于平面內的無數條直線，那么這條直線和這個平面垂直；

(8)垂直于三角形兩邊的直線必垂直于第三邊．

Answer 1

答案：假命題;真命題;真命題;假命題;假命題;假命題;假命題;真命題
解析：

從直線與平面的位置關系、直線與平面的垂直定義入手，逐一判斷真偽． 解：(1)垂直于同一條直線的兩條直線可能平行，也可能相交或異面．如圖所示，正方體中，AB與都與垂直，此時AB∥；AD與AB都與垂直，此時AD∩AB=A；AB與都與垂直，此時AB與異面．故該命題為假命題； 　　(2)該命題的結論為課本定理，故是真命題； 　　(3)如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于這個平面內的任何一條直線．一條直線和平面內的一條直線不垂直，則不具備線面垂直定義的要求．故是真命題； 　　(4)若直線在平面內，則滿足命題的條件：一條直線和一個平面都垂直于同一條直線．故是假命題； 　　(5)同(1)中圖可知，a與c位置關系可以平行．故是假命題； 　　(6)由唯一性結論知，過已知點作已知平面的垂線只有一條是正確的；而過已知點作已知直線的垂線則有無數多條，如圖中，過點A作直線與垂直，由于⊥平面ABCD，可知平面ABCD內的所有直線都與垂直．故是假命題； 　　(7)該命題的關鍵是這無數條直線具有怎樣的位置關系．①若為平行，則該命題應打“×”號；若為相交，則該命題應打“√”．正是因為這兩種情況可能同時具備，因此，不說明面內這個無數條線的位置關系．故是假命題； 　　(8)由直線與平面垂直的判定定理知，垂直于三角形兩邊的直角必垂直于這個三角形所在的平面，從而也必垂直于其第三邊．故它為真命題． 本題是利用直線和平面垂直的定義及判定定理等知識：來解答的問題。解答此類問題必須做到：概念清楚，問題理解透徹，相關知識能靈活運用．