Question

【題目】設函數．

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）當時，若對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）；（II）．

【解析】

試題分析：（I）當，時，，所以，，所以，由此求得切線方程為；（II）當時，，要證明的不等式等價于，利用導數求得左邊函數的最小值為．

試題解析：（Ⅰ）當時，，則，

，∴，

∴曲線在點處的切線方程為，即．

（Ⅱ）當時，，

所以不等式等價于

方法一：令，

則．

當時，，則函數在上單調遞增，所以，

所以根據題意，則有，∴．

當時，由，知函數在上單調遞減；

由，知函數在上單調遞增，

所以．

由條件知，即．

設，則，

所以在上單調遞減．

又，所以與條件矛盾．

綜上可知，實數的取值范圍為．

方法二：令，

則在上恒成立，所以，

所以．

又，

顯然當時，，則函數在上單調遞增，所以，

所以．

綜上可知的取值范圍為．