Question

已知向量

m

=（2cosx，sinx），

n

=（cosx，2

3

cosx）（x∈R），設函數f（x）=

m

•

n

-1．
（1）求函數f（x）的單調增區間；
（2）已知銳角△ABC的三個內角分別為A，B，C，若f（A）=2，B=

π

4

，邊AB=3，求邊BC．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,正弦定理

專題：計算題,解三角形,平面向量及應用

分析：（1）運用向量的數量積的坐標表示和二倍角公式及兩角和的正弦公式，運用正弦函數的增區間，解不等式即可得到所求區間；
（2）由（1）求得角A，進而得到C，再由正弦定理，即可得到BC．

解答： 解：（1）向量

m

=（2cosx，sinx），

n

=（cosx，2

3

cosx），
則函數f（x）=

m

•

n

-1=2cos2x+2

3

sinxcosx-1=cos2x+

3

sin2x
=2sin(2x+

π

6

)，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得
kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z
∴函數f（x）的單調增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z；
（2）∵f（A）=2，即2sin（2A+

π

6

）=2，
∵角A為銳角，由2A+

π

6

=

π

2

，得A=

π

6

，
又B=

π

4

，∴C=

7π

12

，∴sinC=sin

7π

12

=sin（

π

4

+

π

3

）=

6 + 2

4

．
∵AB=3，由正弦定理得BC=

ABsinA

sinC

=

3( 6 - 2)

2

．

點評：本題考查向量的坐標運算，三角恒等變換，及正弦定理的應用，考查運算能力，屬于中檔題．