Question

若向量

a

=(

3

cosωx，sinωx)，

b

=(sinωx，0)，其中ω＞0，記函數f(x)=(

a

+

b

)•

b

-

1

2

，若函數f（x）的圖象與直線y=m（m為常數）相切，并且切點的橫坐標依次成公差為π的等差數列．
（1）求f（x）的表達式及m的值；
（2）將函數y=f（x）的圖象向左平移

π

12

，得到y=g（x）的圖象，當x∈(

π

2

，

7π

4

)時，g（x）=cosα的交點橫坐標成等比數列，求鈍角α的值．

Answer 1

分析：（1）由

a

=(

3

cosωx，sinωx)，

b

=(sinωx，0)，知f(x)=(

a

+

b

)•

b

-

1

2

=

3

sinωxcosωx+sin2ωx-

1

2

=sin(2ωx-

π

6

)，由此能求出f（x）的表達式及m的值．（2）將f(x)=sin(2x-

π

6

)的圖象向左平移

π

12

，得到g（x）=sin2x，由其對稱性，可設交點橫坐標分別為x1，

3π

2

-x1，π+x1，由此能求出鈍角α的值．

解答：解：（1）∵

a

=(

3

cosωx，sinωx)，

b

=(sinωx，0)，
∴f(x)=(

a

+

b

)•

b

-

1

2

=（

3

cosωx+sinωx，sinωx）•（sinω，0）
=

3

sinωxcosωx+sin²ωx-

1

2

=sin（2ωx-

π

6

）．（4分）
由題意可知其周期為π，
∴

2π

2ω

=π，
故ω=1，
則f(x)=sin(2x-

π

6

)，
∴由正弦型曲線的性質知：m=±1．（6分）
（2）將f(x)=sin(2x-

π

6

)的圖象向左平移

π

12

，
得到y=sin[2(x+

π

12

)-

π

6

]=sin2x，
∴g（x）=sin2x，（8分）
∵g（x）=cosα，
∴sin2x=cosα，
∴由三角函數圖象的周期性，可設交點橫坐標分別為x1，

3π

2

-x1，π+x1，
∵當x∈(

π

2

，

7π

4

)時，g（x）=cosα的交點橫坐標成等比數列，
∴(

3π

2

-x1)2=x1(π+x1)，則x1=

9

16

π（12分）
∴cosα=sin

9π

8

=-sin

π

8

=cos

5π

8

，
∴α=

5π

8

．（4分）

點評：本題考查數列與向量的綜合運用，解題時要認真審題，注意三角函數恒等式的靈活運用．