Question

【題目】已知函數(shù)，，為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）當(dāng)時，證明：，；

（2）若函數(shù)在上存在兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】

（1）將帶入解析式,求得導(dǎo)函數(shù),并判斷當(dāng)時函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)在時的最小值,即可證明.

（2）先求得導(dǎo)函數(shù),討論在的不同取值范圍內(nèi)函數(shù)的單調(diào)情況,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)情況判斷其極值的個數(shù),即可求得實數(shù)的取值范圍.

（1）證明:當(dāng)時,,則,

當(dāng)時,,則,又因為,

所以當(dāng)時,,僅時,,

所以在上是單調(diào)遞減,所以,即.

（2）,因為,所以,,

①當(dāng)時,恒成立,所以在上單調(diào)遞增,沒有極值點.

②當(dāng)時,在區(qū)間上單調(diào)遞增,

因為,.

當(dāng)時,時,

所以在上單調(diào)遞減,沒有極值點.

當(dāng)時,,所以存在,使

當(dāng)時,,時,

所以在處取得極小值,為極小值點.

綜上可知,若函數(shù)在上存在極值點,則實數(shù).