Question

【題目】已知函數，R.

（1）試討論函數的極值點的個數；

（2）若N*，且恒成立，求的最大值.

參考數據：

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)10

【解析】

(1)先求出函數的導數，通過討論的范圍，即可求出函數的單調區間；

(2)先由(1)可確定時，有唯一極大值點，進而可表示出的最大值，因此恒成立即轉化為的問題，再構造函數，用導數的方法研究其單調性和最值即可得出結果.

（1）函數的定義域為.

。當時，，

在定義域單調遞減，沒有極值點；

②當時，在單調遞減且圖像連續，

，時，所以存在唯一正數，使得，

函數在單調遞增，在單調遞減，

所以函數有唯一極大值點，沒有極小值點

綜上：當時，沒有極值點；

當時，有唯一極大值點，沒有極小值點

（2）方法一：

由（1）知，當時，有唯一極大值點，所以，

恒成立

因為，所以，

所以.

令，則在單調遞增，

由于，，

所以存在唯一正數，使得，

從而.

由于恒成立，

①當時，成立；

②當時，由于，所以.

令，當時，，

所以在單調遞減，從而.

因為，且，且N*，所以.

下面證明時，.

，且在單調遞減，由于，

所以存在唯一，使得，

所以.

令，，易知在單調遞減，

所以，

所以

即時，.

所以的最大值是10.

方法二：

由于恒成立，所以

，；

，；

，；

因為N*，所以猜想：的最大值是10.

下面證明時，.

，且在單調遞減，由于，

所以存在唯一，使得，

所以.

令，，易知在單調遞減，

所以，

所以

即時，.

所以的最大值是10.