Question

【題目】已知函數在處取得極值．

求函數的解析式；

若過點可作曲線的三條切線，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：

由題意可得，故可得到a、b的方程組，求解即可；

由題意知，點A不在曲線上，故設出切點為，根據切點在曲線上和導數的幾何意義建立等量關系，得到，由題意知該方程有3個解，故將問題轉化為的極大值和極小值異號的問題，解不等式組可求出實數m的取值范圍．

試題解析：

（1）∵，

∴，

由題意得，解得．

．

（2）由（1）得，

曲線方程為，

點不在曲線上．

設切點為，

則，

切線的斜率為，

整理得

過點可作曲線的三條切線，

關于方程有三個實根．

設，則，

由，解得或．

當時，單調遞增；當時，單調遞減；當時，單調遞增．

∴當時，有極大值，且極大值為；

當時，有極小值，且極小值為．

由題意得，函數有三個零點，

∴ ，解得．

故所求的實數a的取值范圍是．