Question

【題目】已知圓O：x2+y2=2，直線l：y=kx﹣2．
（1）若直線l與圓O交于不同的兩點A，B，且 ，求k的值；
（2）若 ，P是直線l上的動點，過P作圓O的兩條切線PC，PD，切點分別為C，D，求證：直線CD過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為 ，所以原點O到直線l的距離為 ，

又因為 ，

所以 ．

（2）證明：由題意可知O，P，C，D四點共圓，且在以OP為直徑的圓上，

設 ，

則以OP為直徑的圓的方程為： ，

即 ，

又C，D在圓O：x2+y2=2上，

所以直線CD的方程為 ，

即 ．

因為t∈R，所以

所以直線CD過定點 ．

【解析】（1）由 ，得到原點O到直線l的距離為1，由此利用點到直線的距離公式能求出k的值．（2）由題意可知O，P，C，D四點共圓，且在以OP為直徑的圓上，設 ，以OP為直徑的圓的方程為 ，由C，D在圓O：x2+y2=2上，求出直線CD的方程，由此能證明直線CD過定點 ．